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THEMA: Gravitation eines SL

Gravitation eines SL 10 Jul 2018 14:58 #36923

ra-raisch schrieb: In gar nichts, ich will nur seinen Betrag wissen. Was ich später damit mache, weiß ich noch gar nicht ;-)

Ach so. Allerdings den Betrag kannst Du auf keinen Fall einsetzen, soviel ist mal klar. Also ich würde die Komponentenquadrate des Drehimpulses auf der Diagonalen des Energie-Impuls-Tensors einsetzen, wenn ich Du wär.

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 15:12 #36924

Naja der Drehimpuls L ist schon ein Teil des Energie-Impuls-Tensors, auf der Diagonalen ist 4 Mal die Null....
Ich habe diesen Tensor gegeben (angenommen) und möchte ja jetzt den Betrag davon haben. Da darf ich wohl nur die räumlichen Komponenten berücksichtigen siehe vorletzter Post (habe ich ergänzt). \({L_i}^i\)


EDIT: achso, das ist egal, ich habe ja eh nur einen also zwei symmetrische Einträge, sonst ist alles Null. Nehmen wir \(Lz = L^{23} = -L^{32}\) oder steht dann in Zeile 0 und Spalte 0 auch etwas?

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 15:13 #36925

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Hi Micha...
"Ein weiteres Beispiel ist mir allerdings jetzt nicht geläufig...oder doch, Scherspannungen werden auch über einen antisymmetrischen Tensor dargestellt"

Hier mal ein paar Beispiele, s. zB. Lorentztrafo... Relativistische Mechanik, unter vielem... die "ED".
Ein sehr umfangreiches Paper (500 Seiten) das jedoch auch im Allgemeinen.....von Interesse sein sollte.. da es zB. ua. Himmelsmechanik behandelt..
itp1.uni-stuttgart.de/institut/arbeitsgr.../AstroRelaSkript.pdf

LGse Z.

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 15:30 #36926

ra-raisch schrieb: Naja der Drehimpuls L ist schon ein Teil des Energie-Impuls-Tensors, auf der Diagonalen ist 4 Mal die Null....

Wieso sollten die Werte auf der Diagonalen 0 sein? Ein Drehimpuls ist auch nur wieder ein ganz normaler Vektor, der die Diagonalen des Energie-Impuls-Tensors besetzt. Du kannst nicht einfach die Ausgangsvektoren des Kreuzproduktes einfach in den Energie-Impuls-Tensor einsetzen. Du musst den Ergebnisvektor des Kreuzproduktes einsetzen.

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 15:45 #36928

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Ein Leid ein Leid....
Ich denk ich brauch langsam nen Psychologen....


Bis später Micha
HG Z

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 18:27 #36931

Michael D. schrieb: Wieso sollten die Werte auf der Diagonalen 0 sein?

Ist so, ich habs nicht erfunden.
theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/s...10-02-24.pdf#page=33

Auf der Diagonalen dreht sich ja nichts.

Michael D. schrieb: Du kannst nicht einfach die Ausgangsvektoren des Kreuzproduktes einfach in den Energie-Impuls-Tensor einsetzen. Du musst den Ergebnisvektor des Kreuzproduktes einsetzen.

Ich will den Tensor gar nicht berechnen, ich setze da nichts ein, ich will aus dem Tensor den Wert berechnen .... ganz einfach mit g ausmultiplizieren und dann zusammenziehen, wenn ichs könnte. Aber sicher fällt es mir bald wieder ein, ich habs halt noch nie gemacht.

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 20:03 #36933

ra-raisch schrieb: Ist so, ich habs nicht erfunden.

Beim Maxwell-Tensor aus der Elektrodynamik klar. Aber nicht beim normalen Drehimpuls.

Auf der Diagonalen dreht sich ja nichts.

Beim Maxwell-Tensor dreht sich auch nichts.

Ich will den Tensor gar nicht berechnen, ich setze da nichts ein, ich will aus dem Tensor den Wert berechnen .... ganz einfach mit g ausmultiplizieren und dann zusammenziehen, wenn ichs könnte.

Das ist Quatsch. Einfach Wurzel aus dem Skalarprodukt der Komponenten des Drehimpulses ziehen. Fertig. Dann hast Du den Betrag. Was willst Du nur mit dem Metrik-Tensor?

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 20:27 #36934

Michael D. schrieb: Was willst Du nur mit dem Metrik-Tensor?

Den brauchst Du zum Senken bzw Heben. Man hat ja normal entweder \(L^{μν}\) oder \(L_{μν}\) und zum Zusammenziehen brauchst Du \(g_{αμ}L^{αμ} = {L_μ}^μ\)
Aber ist das nicht die Spur? Benötigt wird doch wohl die Determinante?

Schau nochmal hier bei Yukterez wie das geht ... genauso wie ich es schon mehrfach gezeigt habe.

Ja eben, wozu zerbreche ich mir den Kopf über L, der Impuls genügt mir ja auch:
\( {\rm p_{\alpha}} = {\rm m}_0 \ (|g_{\alpha \alpha}| \ \dot {\rm x}^{\alpha}- |g_{\rm 0 \alpha}| \ \dot {\rm x}^{0}) \)
Im Impuls steckt also das Potential längst mit drin \(|g_{\alpha \alpha}|\)
und wir erhalten
|p|² = \( {\rm p_{\alpha}} {\rm p^{\alpha}} \) = m²γ²c²(1-rs/r)-m²γ²v²(1-rs/r)
naja da erhalten wir in der flachen Raumzeit nur c²m in der Metrik aber \(|p|=c²m\sqrt{1-rs/r}\) ... richtig?
und der räumliche Impuls also \(|\vec p|=m·γ·v·\sqrt{1-rs/r}\) oder nicht?

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Gravitation eines SL 10 Jul 2018 22:48 #36938

Hab nochmal recherchiert: Der Drehimpuls-Tensor ist tatsächlich anti-symmetrisch und Spur-frei, also die Hauptdiagonale 0. Die Berechnung von \(L_\mu^\mu\) bedeutet aber eindeutig Spurbildung. Die ist aber 0. Um den Betrag des Drehimpulses auszurechnen bleibt also nur der klassische Weg über das Skalarprodukt der Komponenten.

Was mich aber mal interessieren würde ist die Metrik, die sich aufgrund des relativistischen Drehimpulstensors
\[L_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0&-c(m\gamma r-p_1t)&-c(m\gamma r-p_2t)&-c(m\gamma r-p_3t)\\c(m\gamma r-p_1t)&0&L_3&-L_2\\c(m\gamma r-p_2t)&-L_3&0&L_1\\c(m\gamma r-p_3t)&L_2&-L_1&0\end{pmatrix}\]
(wobei in der ersten Spalte und der ersten Zeile die Komponenten des Trägheitsmomentes stehen) ergeben würde. Vielleicht kann Yukterez etwas dazu sagen.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 15:49 #36965

Michael D. schrieb: Was mich aber mal interessieren würde ist die Metrik, die sich aufgrund des relativistischen Drehimpulstensors ergeben würde. Vielleicht kann Yukterez etwas dazu sagen.

Danke für die Matrix, ich hätte nicht gewusst, wie man das mit tex darstellt. Die Metrik ergibt sich ja nicht aus dem Drehimpuls sondern der Drehimpuls "lebt" in irgend einer Metrik, und in meinem Fall soll es ja Schwarzschild sein. Wenn Du eine Metrik willst, die von Drehimpuls dominiert wird, musst Du bei Kerr nachsehen.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 15:56 #36967

Michael D. schrieb: Hab nochmal recherchiert: Der Drehimpuls-Tensor ist tatsächlich anti-symmetrisch und Spur-frei, also die Hauptdiagonale 0. Die Berechnung von \(L_\mu^\mu\) bedeutet aber eindeutig Spurbildung. Die ist aber 0. Um den Betrag des Drehimpulses auszurechnen bleibt also nur der klassische Weg über das Skalarprodukt der Komponenten.

Ja klar, es ist die Determinante, aber......
nee ist mir schon klar geworden, man muss dem Tensor die benötigten Komponenten entnehmen und einen Vektor bilden, der dann "normal" umgewandelt wird:

\( |L²| = g_{mn} L^{m} L^{n} \)

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 16:00 #36968

ra-raisch schrieb: Ja klar, es ist die Determinante, mir ist nur nicht klar, wie man die Metrik einflechten muss, einmal oder zweimal. Vermutlich 2 Mal\( L = det.(g_{μν} g_{αβ} L^{μα}) \)

Rechne doch mal konkret mit einem Beispieldrehimpuls durch. Würd mich mal interessieren.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 16:06 #36969

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: Ja klar, es ist die Determinante, mir ist nur nicht klar, wie man die Metrik einflechten muss, einmal oder zweimal. Vermutlich 2 Mal\( L = det.(g_{μν} g_{αβ} L^{μα}) \)

Rechne doch mal konkret mit einem Beispieldrehimpuls durch. Würd mich mal interessieren.

ich habe meinen Post korrigiert, das war Blödsinn, ist mir schon in der Nacht klar geworden, hatte ich grad vergessen ... ;-)

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 16:23 #36970

Michael D. schrieb: Rechne doch mal konkret mit einem Beispieldrehimpuls durch. Würd mich mal interessieren.

Mein Drehimpuls ist ja einfach ein Vektor mit Lx=L1=L²³, Ly=0, Lz=0.
Ich meine das Ergebnis wäre dann
\(L² = L_a L^a = (1-rs/r)L_x²\)



...aber sicher bin ich mir da nicht, ℓ=r×v ändert ja die Richtung, daher spricht man wohl allgemein von Lz, ich dachte das ist nur eine andere Konvention. L liegt somit tangential am Orbital und natürlich nicht radial. Somit hätte ich Lz=L3 ... achja, sonst hätte ich ja gar nicht den Faktor (1-rs/r) bekommen.
\(L² = L_a L^a = (1-rs/r)L_z²\)

Allerdings ist ja wohl \(g_{rr}=1/(1-rs/r)\) also wäre \(L² = L_z²/(1-rs/r)\) korrekt?

Ja nach allem klingt das am vernünftigsten.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 16:52 #36973

Ok, soweit, so gut. So ein Drehimpuls des SL führt ja dann bei \(r > r_s\) zur Kerr-Metrik bzw. zum Frame-Dragging. Zu welcher Rotationskurve führt das eigentlich in Abhängigkeit des dimensionslosen Parameters \(\frac{r}{r_s}\)?

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 20:26 #36989

Michael D. schrieb: Ok, soweit, so gut. So ein Drehimpuls des SL führt ja dann bei \(r > r_s\) zur Kerr-Metrik bzw. zum Frame-Dragging. Zu welcher Rotationskurve führt das eigentlich in Abhängigkeit des dimensionslosen Parameters \(\frac{r}{r_s}\)?

Bei meinem Problem ging es ja um ein Testpartikel. Und bei meinem Ergebnis bin ich mir noch gar nicht sicher, wenn ich so auf den letzten Post von Yukterez blicke. Auch beim Impuls ist mir die Rechnung noch lange nicht klar, denn wenn ich das einsetze, was ich verstehe, kommt Unsinn heraus.

Der Rotationsparameter der Kerr-Metrik heißt J/(c·M) = a, statt rs sagt man 2M, aber der Ereignishorizont liegt je nach dem Wert von a und der Abweichung von der Äquatorialebene zwischen M=rG und 2M=rs.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 21:15 #36991

ra-raisch schrieb: Und bei meinem Ergebnis bin ich mir noch gar nicht sicher, wenn ich so auf den letzten Post von Yukterez blicke. Auch beim Impuls ist mir die Rechnung noch lange nicht klar, denn wenn ich das einsetze, was ich verstehe, kommt Unsinn heraus.


Es ist mir ein Rätsel wo da noch was unklar sein könnte, ich habe doch eh sowohl für Schwarzschild als auch Kerr und Kerr Newman eine deppensichere Anleitung gegeben. Wenn du das nachmachst was auf diesen Seiten steht kommt bei deiner Rechnung garantiert das Gleiche wie im Lösungsheft heraus. Was hast du denn als Input hineingesteckt, und was als Output herausbekommen?

Es gern anhand eines konkreten Beispiels vorrechnend,

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 21:27 #36993

Yukterez schrieb: Es gern anhand eines konkreten Beispiels vorrechnend,

Vielen Dank. Ich stelle mich nachher auch in die Ecke. Na die Frage ist ganz einfach:
Ich möchte die Werte von Impuls \(p^\mu\) und Drehimpuls \(L^{\mu \nu}\) ausrechnen.
Bleiben wir zuerst beim Impuls. Es müßte ja lauten \(|p|²=g_{m n}p^m p^n = p_n p^n = p_r^2/(1-rs/r) + p_y^2 + p_z^2 \)
Aber das sieht ziemlich schräg aus.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 21:52 #36995

Was soll denn das für ein komisches kugelkartesisches Koordinatensystem sein, dass da sowohl ein r als auch ein y und ein z drin vorkommen? Wie man den Drehimpuls ausrechnet steht ja schon in Beitrag #36904, und dessen Betrag zu quadrieren ist ebenfalls trivial. Was sind denn überhaupt die Startbedingungen für deinen Partikel (Position, Geschwindigkeit, Richtung), und wie viele Haare (Masse, Spin, Ladung) soll dein schwarzes Loch haben?

Den Rechenschieber auspackend,

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 22:02 #36996

Yukterez schrieb: Was soll denn das für ein komisches kugelkartesisches Koordinatensystem sein, dass da sowohl ein r als auch ein y und ein z drin vorkommen? Wie man den Drehimpuls ausrechnet steht ja schon in Beitrag #36904, und dessen Betrag zu quadrieren ist ebenfalls trivial. Was sind denn überhaupt die Startbedingungen für deinen Partikel (Position, Geschwindigkeit), und wie viele Haare (Masse, Spin, Ladung) soll dein schwarzes Loch haben?

Mein SL hat nur ein Haar die Masse, Schwarzschild.
Mein Partikel befindet sich an irgend einem Ort r und hat den beliebigen Impuls \(p^μ\). Nun will ich nur die Länge des Impulsvektors, wie man eben auch die Länge von \(x²=g_{μν}x^μ x^ν\) berechnet, wobei bei p ja (im Prinzip) immer so etwas wie \(c²m²=E²/c²-p_x²-p_y²-p_z²\) herauskommt, so dass ich eben gleich nur von 1 bis 3 einsetze.

y und z habe ich dann statt φ und θ umbenannt und sind beliebig.

Es sieht zwar aus wie Rosinenpickerei und liefert natürlich auch keine Invariante, doch es sieht ganz nach dem Wert aus, der at infinity anzusetzen wäre???

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 22:47 #36997

|p|=m0 |u| und pα=m0 uα, wobei m0 die invariante Ruhemasse und u die Vierergeschwindigkeit des Testpartikels ist. Wie man den Betrag der Vierergeschwindigkeit und die kovarianten und kontravarianten Komponenten derselben bekommt, und dass für den Drehimpuls nicht die kontravarianten sondern die kovarianten Komponenten benötigt werden weißt du schon, oder?

Nicht wissend ob ich dir die ganze 4-Geschwindigkeit, oder nur den Zusammenhang zwischen 4-Geschwindigkeit und 4-Impuls erklären soll,

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 23:21 #36998

Yukterez schrieb: dass für den Drehimpuls nicht die kontravarianten sondern die kovarianten Komponenten benötigt werden weißt du schon, oder?

Ich denke, daran hapert es vor allem bei mir. Ich dachte, das Produkt aus kontravarianten und kovarianten Komponenten ergibt das Quadrat des Betrages wie beim Linienelement eben.

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 23:33 #36999

Es steht doch eh in deinem eigenen MTW dass der Drehimpuls als transversale Komponente des kovarianten Viererimpulses definiert ist!

Zurückblätternd,

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Gravitation eines SL 11 Jul 2018 23:45 #37000

Yukterez schrieb: Es steht doch eh in deinem eigenen MTW dass der Drehimpuls als transversale Komponente des kovarianten Viererimpulses definiert ist!

Das ist mir sowieso klar.
MTW habe ich erst angefangen zu lesen und komme zeitlich kaum weiter.
Ich will ja auch nicht L sondern L at infinity, also eben über die Metrik.

Aber bleiben wir erst einmal beim Impuls p.

Yukterez schrieb: |p|=m0 |u| und pα=m0 uα, wobei m0 die invariante Ruhemasse und u die Vierergeschwindigkeit des Testpartikels ist.

Dies ist mir schon klar.

Yukterez schrieb: Wie man den Betrag der Vierergeschwindigkeit und die kovarianten und kontravarianten Komponenten derselben bekommt

\(u^2 = c^2 = u_μ u^μ = g_{μν}u^μ u^ν\) hätte ich gedacht, doch ich will ja nur den räumlichen Anteil daraus, das müßte ja dann so etwas werden wie
\(p²=p_r²/(1-rs/r)²+p_y²/(1-rs/r)+p_z²/(1-rs/r)\) ... die Indizes habe ich nur optisch hinunter gestellt, das müßten die kontravarianten Elemente sein.

also mit Index ∞ für at infinity und Index r für FIDO:
\(p_∞²=p_r^r²/(1-rs/r)²+p_r^y²/(1-rs/r)+p_r^z²/(1-rs/r)\)

naja ich sehe schon, das geht bei Geschwindigkeiten bzw Impuls nicht so einfach mit der Metrik, da muss man die Ableitung nach der Zeit von Hand rechnen sozusagen bzw durch Umstellen der Zeitkomponente, die Herleitung war mir schon bekannt.....
\(p_∞²=(p_r^r²/(1-rs/r)+p_r^y²+p_r^z²)/(1-rs/r)\)

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:10 #37001

ra-raisch schrieb: |u|²=c²


So weit richtig, und deshalb ist |p|²=m0²c².

ra-raisch schrieb: die Indizes habe ich nur optisch hinunter gestellt, das müßten die kontravarianten Elemente sein.


Warum schreibst du den selben Vorfaktor vor alle Komponenten, gθθ oder gφφ ist ja nicht das Selbe wie grr.

ra-raisch schrieb: p


Davon halte ich nichts, denn

Der allgemeine Konsens schrieb: In general relativity, the 4-momentum is a four-vector defined in a local coordinate frame


Mit Betonung auf "local".

Nicht verstehend zu welchem Zweck du da um jeden Preis dein 1-rs/r hineindoktern willst,

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:20 #37002

Yukterez schrieb: Keine Ahnung habend wozu du da um jeden Preis dein 1-rs/r hineindoktern willst,

Ich möchte gerne alles auf infinity übersetzen, aber ist mir schon klar jetzt dass das nicht ganz so einfach wie bei Längen ist sondern eben die Zeit ebenso übersetzt werden muss.
\(v_∞²=(x_∞/t_∞)² = g_{xx} x² / (g_{tt} t²) \) ... kann man das allgemein so vereinfachen?
\(a_∞²= (2x_∞/t_∞²)² = 4g_{xx} x² / (g_{tt} t²)² \)

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:29 #37003

Falls v die Koordinatengeschwindigkeit im System des feldfreien Beobachters at infinity sein soll dann ist das einfach nur dx/dt, was im Fall von Schwarzschild so aussieht.

So einfach wie möglich,

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:39 #37004

Yukterez schrieb: Falls v die Koordinatengeschwindigkeit im System des feldfreien Beobachters at infinity sein soll dann ist das einfach nur dx/dt, was im Fall von Schwarzschild so aussieht.

Ja das ist mir schon alles klar, ich möchte es aber als allgemeine Rechnung aus den lokalen Messungen bei r berechnen, das Ergebnis ist ja korrekt. Stimmt das Ergebnis denn bei der Beschleunigung? Da ist mir das Ergebnis nicht so klar.

Mein einfaches Ergebnis wäre da

\(a_∞²= 4g_{xx} x² / (g_{tt} t²)² = 4b^r²/(1-rs/r)^3+4b^y²/(1-rs/r)^2+4b^z²/(1-rs/r)^2 \) ← EDIT: Divisionen müssen es sein ... und der Faktor 4 ;-)

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:55 #37005

Auch die Beschleunigung kannst du entweder im System at infinity, im System des Beschleunigten relativ zu ruhenden Linealen (deren Länge wird anhand der gii-Komponente integriert und mit dem Lorentzfaktor multipliziert) oder relativ zum vordefinierten Koordinatengrid definieren. Im ersten Fall wird durch die Koordinatenzeit, um in den letzteren beiden Fällen durch die Eigenzeit differenziert. Man muss dann natürlich dazusagen was man mit Beschleunigung meint, denn ein Partikel der in seinem eigenen System immer schneller auf ein schwarzes Loch zubeschleunigt wird im System eines Beobachters at infinity stattdessen langsamer.

Edit: Die Rechnung die du grad da oben reineditiert hast kann ich leider nicht entziffern, da hast du wohl an einigen Stellen das Differential d vergessen, und anscheinend hast du auch wirklich einfach nur dividiert anstatt abzuleiten. Dass das nicht richtig sein kann siehst du z.B. daran dass du damit nicht den gewünschten Vorzeichenwechsel in der Beschleunigung bekommst wenn der Partikel im System des feldfreien Beobachters wieder langsamer wird während er lokal schneller wird. Bedenke dass langsamer werden nicht eine vom Betrag her geringere, sondern eine vom Vorzeichen her umgekehrte Beschleunigung bedeutet!

Differenzierend,

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Gravitation eines SL 12 Jul 2018 00:59 #37006

Yukterez schrieb: Man muss dann natürlich dazusagen was man mit Beschleunigung meint, denn ein Partikel der in seinem eigenen System immer schneller auf ein schwarzes Loch zubeschleunigt wird im System eines Beobachters at infinity stattdessen langsamer.

Naja das sollte dann im Ergebnis von alleine herauskommen.
Das Partikel wird von einem FIDO beobachtet und gemessen.

Mit der Viererbeschleunigung \(b^μ\) beim FIDO ist mein einfaches Ergebnis:
\(a_∞²= 4g_{xx} x² / (g_{tt} t²)² = 4b^r ²/(1-rs/r)^3+4b^y ²/(1-rs/r)^2+4b^z ²/(1-rs/r)^2 \)

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